STMIK Sumedang

PROBABILITAS DAN STATISTIK

Rangkuman

· Distribusi peluangdiskreat : Binomial, Hipergeometrik, BinomialNegatif, Geometri dan Poisson

· Distribusi Peluang Kontinu : Distribusi Normal

Ø  Distribusi Binomial

Suatu pengamatan atau percobaan dilakukan dengan beberapa usaha.Setiap usaha menghasilkan dua kemungkinan, berhasil atau gagal. Setiapusaha yang dilakukan harus memenuhi syarat proses Bernoulli berikutini:

·      Percobaan terdiri atas n usaha yang berulang

·      Tiap usaha member hasil yang dapat dikelompokan menjadi sukses atau gagal

·      Peluang sukses, dinyatakan dengan p, tidak berubah dari usaha yang satu ke yang berikutnya.

·      Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.

merupakan fungsi kombinasi sebagai berikut:

Dimana::

Distribusi binomial mempunyai rata-rata danvarian sebagai berikut:

dan

Contoh,suatu pabrik ban melakukan pengujian kualitas terhadap beberapa produknya hasiluji menyatakan 15% dinyatakan sebagai produk tidak layak. Apabila dilakukan pengujian lagi terhadap 10 ban, berapa peluang tepat 5 ban tidaklayak.

Penyelesaian manual

 

                                

Penyelesaiandengan SPSS

Anda dapat menyelesaikan contoh tersebut dengan SPSS secara cepat dan mudah.berikut ini langkah-langkahnya:

·           Klik Transform => Compute Variabel sehingga kotak dialog Compute Variabel akan muncul

·           Pada function group, pilih PDF & Noncental PDF dan pada Function and Special Variabels, pilih Pdf.Binom

·           Pindahkan fungsi tersebut dengan menekan tombol panah atas kekotak Numeric Expression. Kotakter sebut akan tertulis PDF.BINOM(?,?,?).

·           Masukan nilai q, n, dan p pada tandatanya pertama, kedua dan ketiga. Variabel q adalah banyaknya usaha yang dikategorikan sukses (tepat 5 ban tidaklayak). Variabel n adalah banyaknya usaha dalam suatu pengamatan/percobaan(10). Variabel p adalah probabilitas sukses(15% produktidaklayak). PDF.BINOM(5,10,0.15). PDF merupakan singkatan dari Probability Density Function yang artinya adalah fungsi peluang pada suatu titik tertentu.

·           Tulis hasil pada kotak Target Variabel.

·           Klik OK

Keterangan:

Sebelum anda melakukan perhitungan dengan SPSS, anda harus membangun data terlebih dahulu. Buat variable dengan nama hasil ; typenumeric ; dan decimal 5.

Setelah selesai masuk pada tampilan Data View. Pada kolom hasil yang telah terbentuk, masukan angka sembarang. Hal ini perlu karena apabila tidak dilakukan maka hasil perhitungan tidak muncul.

Dengan bantuan fungs iCount , anda dapat melakukan perhitungan lebih lanjut.   Berapa peluang paling sedikit 2 ban tidak layak dan berapa peluang 3 sampai 4 ban tidak layak? Anda dapat menggunakan fungsi CDF.BINOM.CDF merupakan singkatan dari Cumulative Distribution Function, yang menghitung peluang komulatif suatu rentang tertentu. Anda dapat membuat table fungsi distribusi komulatif binomial dengan menggunakan fungsi ini.

Peluang Paling sedikit  2 ban tidak layak,

dapat anda cari dengan fungsi CDF.BINOM(2,10,0.15). hasilnya 0.82020

Peluang 3 sampai 4 ban tidaklayak,

         

dapat dicari dengan fungsi CDF.BINOM (4,10,0.15) hasilnya 0.99862, dan dapat dicari dengan fungsi CDF.BINOM (2,10,0.15). hasilnya 0.82020

Ø  Distribusi Hiper geometrik

Berbeda dengan distribusi binomial yang mensyaratkan pengembalian setiap barang setelah diamati, distribusi hipergeometrik tidak memerlukan kebebasan dan didasarkan pada sampling tanpa pengembalian. Suatu percobaan hipergeometrik memiliki dua sifat berikut:

• Sampel aca kukuran n diambil tanpa pengembalian dari N benda
• Sebanyak k benda dikategorikan sukses, sisanya N-k dikategorikan gagal.

dimana:

x  = kejadian sukses pada waktu pengambilan sampel

N = keseluruhan ruang sampel

n = banyaknya sampel yang diambil

k = banyaknya sukses dalam keseluruhan ruang sampel

contoh, dalam suatu kotak berisi 15 suku cadang dimana terdapat 4 suku cadang yang tidak layak pakai. Bila kita melakukan sampling  pada kotak tersebut sebanyak 5 kali, berapa peluang mendapat 2 suku cadang yang tidak layak pakai dalam sampling tersebut?

Penyelesaian manual

Diketahui:

Perhitungandengan SPSS\

Gunakan fungsi PDF.HYPER (q, total, sampel, hits) pada kotak dialog Compute Variabel. Variabel q identik dengan x pada formula distribusi hipergeometrik, yang menjelaskan kejadian sukses pada waktu pengambilan sampel. Variabel total identik dengan N yang menjelaskan keseluruhan ruang sampel. Variabel sampel identik dengan n yang menjelaskan banyaknya sampel yang diambil. Variabel hits identik dengank yang menjelaskan banyaknya sukses dalam ruang sampel.

PDF.HYPER (2, 15, 5, 4) = > 0.32967

Contoh lanjutan ,berapa peluang untuk mendapat paling sedikit 3 produk tidak layak pakai?

Karena terkait dengan pendugaan rentang, gunakan fungsi CDF.HYPER (q, total, sample, hits):

Bila n kecil dibandingkan dengan N maka peluang tiap penarikan hanya berubah sedikit. Jadi distribusi binomial dengan P = k/N sehingga rata-rata dan varian dapat didekati sebagai berikut:

Bila kedu arumus dibandingkan maka terlihat bahwa rataannya sama sedangkan variannya berbeda sebesar factor koreksi besaran ini dapat diabaikan bila n kecil dibandingkan dengan N.

Contoh, suatu pabrik lampu melaporkan bahwa pengiriman sebanyak 10.000 lampu ke suatu took tertentu terdapat 500 cacat. Bila seorang membeli 5 lampu secara acak dari took tersebut, berapa peluang untuk mendapat 3 lampu cacat?

Hipergeometri:

perhitungan manual sangat sulit anda lakukan. Perhitungan yang dimaksud adalah perhitungan nilai kombinasinya, mengingat nilai N yang sangat besardengan n kecil.

Hasil perhitungan dengan spss dengan fungsi PDF.HYPER (q, total, sample, hits):

PDF.HYPER (3, 10000, 5, 500) = > 0.00112

Binomial : Perhitungan Manual

 

Perhatikan peluang yang diperoleh antara distribusi hipergeometri dengan distribusi binomial. Selisihnya tidak signifikan apabila variabel n kecil dibandingkan variabel N.

Binomial : Perhitungan dengan spss

Perhitungan dengan spss dapat anda lakukan dengan fungsi PDF.BINOM (q, n, p).

PDF.BINOM (3, 5, 0.05) = > 0.00113

Ø  Distribusi Binomial Negatif

Distribusi binomial negative memiliki sifat yang sama dengan distribusi binomial. Pembedanya terletak pada usaha yang dilakukan sampai sejumlah sukses tertentu.

Dimana:

X=banyaknya usaha yang dilakukan

K=banyaknya usaha yang berakhir tepat sukses tertentu

P=peluang sukses

Contoh, berapa peluang seseorang melemparkan dua uang logam sekaligus untuk mendapat semua muka ketiga kalinya pada lemparan ketujuh.

Binomial Negatif: Perhitungan Manual

Diketahui :

Ruang Sampel =  T = {MM, MB, BB, BM}

Di mana M adalah muka dan B adalah belakang. Maka nilai p dapat dicari :

k=3 dan x=7

Binomial negative : Perhitungan dengan SPSS

Gunakan fungsi  PDF.NEGBIN (q, threshold, p) dimana variabel q identik dengan variabel x, merupakan jumlah usaha yang dilakukan. Variabel threshold identik dengan variabel k, merupakan variable jumlah sukses dalam suatu usaha tertentu.

PDF.NEGBIN (7, 3, 0.25) = > 0.07416

Ø  DistribusiGeometri

Distribusi geometri merupakan hal khusus dari distribusi binomial negative dengan k=1. Dengan kata lain mencari peluang sukses untuk pertama kali.

Geometri : Perhitungan Manual

Dimana:

p=peluang sukses

q=peluang gagal

x=banyaknya usaha yang dilakukan

contoh seorang melemparkan 2 uang logam sekaligus. Berapa peluang muncul untuk muka semua pada kedua koin apabila dilakukan pelemparan sebanyak 5 kali?

Diketahui:

Geometri : Perhitungan SPSS

Gunakan fungsi PDF.GEOM (q, p) diman avariabel q identik denga nvariabel x , merupakan variable ljumlah usaha yang dilakukan.

PDF. GEOM (5, 0, 25,) = > 0.07910

Ø  Distrbusi Poisson

Distribusi poisson adalah distribusi melalui percobaan poisson (proses possion) yang memiliki sifst sebagai berikut :

·           Banyaknya hasil yang terjadi dalam suatu selang  waktu atau daerah tertentu tidak terpengaruh oleh apa yang terjadi pada selan waktu atau daerah lain yang terpisah.

·           Peluang terjadinya suatu hasil dalam selang waktu yang amat pendek atau daerah yang kecil sebanding dengan panjang selang waktu atau besarnya.

·           Peluang terjadinya lebih dari satu hasil dalam selang waktu yang pendek atau daerah yang sempit tersebut dapat diabaikan.

Distribusi poisson menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu dinyatakan dengan t.

 menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi per sauan waktu atau daerah tersebut dan e =2.71828.

Contoh, pada suatu persimpangan jalan, rata-rata terjad kecelakaan sebanyak 5 kali dalam seminggu. Berapa peluang dalam satu minggu terjadi kecelakaan 7 kali.

Poisson : Perhitungan Manual

Diketahui:

 

Poisson perhitungan dengan SPSS

Gunakan fungsi PDf.POISSON (q, mean) di mana varibel q identi dengan variabel  , merupakan variabel banyaknya kejadian tertentu. Variabel mean identik dengan variabel  merupakaan rata-rata kejadian tertentu.

PDF.POISSON(7,5) => 0.10444.

Contoh, pada suatu proses pembuatan produk, rata-rata 1 dari 500 produk tidak layak jual. Bila 10.000 produk diambil secara acak, hitung peluang untuk terdapat 10  produk tidak layak jual.

Binomial

PDF.BINOMI(q, n, p)

q = 10, n = 10000 dan p = 0.002

PDF.BINOMI(10, 10000, 0.002) = > 0.00579

Poisson

PDF.POISSON(q, mean)

PDF.POISSON (10,20) = > 0.00582.

Ø  Distribusi Peluang Kontinu

Distribusi peluang kontinu yang umum digunakan adalah distribusi nrmal.

Distribusi Normal

 Distribui normal  berbentuk loncen denan rataan .

Dengan

Kurva setiap distribui kontinu dibuat sedemikian rupa sehingga luas dibawah kurva diantarakedua ordinat  sama dengan peluang peubah acak mendafat nilai antara nilai  .

Peubah acak normal X dapat ditranformasi menjai peubah acak normal Z, dengan rata-rata 0 dan varian 1. Distribusi tersebu  juga disebut distribusi normal baku.

Jadi bila X bernilai antara  maka peubah acak Z akan bernilai antara

   = 

  

Conto, suatu perusahaan rata-rata memproduksi barang sejumlh 50 buah dengan tandar deviasi sebesar 10 buah. Berapa peluang perusahaan tersebut untuk memproduksi tepat 55 buah.

Normal : Perhitungan dengan SPSS

Anda dapat menggunakan fumgsi PDF.NORMAL (q, mean, stddev) bila mencari peluang pada suatu titik tertentu dimana variabel q identik daengan variabel  , pariabel mean identik dengan variabel  , variabel stddev identik dengan variabel .

PDF.NORMAL (55, 50, 10) = > 0.03521

Contoh lanjut, beberapa peluang perusahaan memproduksi antara 43 sampai 55 produk.

Gunakan fungsi CDF.NORMAL (q, mean, stddev) bila menghitung peluang rentang.

Anda dapat tabel komulatif distribusi normal standar menggunakan fungsi dengan terlebih dahulu mentransfr variabel x ke variabel z.

 

Contoh lanjut, tentukan berapa jumlah produk  bila luasan di sebelah kiri (peluang komulatif) adalah 45%.

 maka

Normal : Perhitungan Manual

Luas sebesar 45% bila dicari dalam tabel komulatif didistribusi normal standar akan terletak pada z = -o,13 dan z =-o,12.

13) + 50 = 48.7

Normal : Perhitungan dengan SPSS

Gunakan fungsi IDF.NORMAL(p, mean, stddev) di mana variabel p identik dengan variabel % peluang. Variabel mean identik dengan variabel  Variabel stddev identik dengan variabel

IDF.NORMAL(0.45, 50, 10) => 48.74339.

Perbedaan hasil dengan perhitungan manual karena penilaian nilai z benar-benar untuk luasan 45% pada perhitungan ini.

Distribusi normal dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan pada distribusi nominal.

Contoh suatu pabrik ban melakukan suatu pengujian kualitas terhadap beberapa produknya. Hasil uji menyatakan 2% dinyatakan sebagai produk tidak layak. Apabila dilakukan pengujian lagi terhadap 100 produk, berapa peluang tepat 5 produk tidak layak.

Binominal : Perhitungan dengan SPSS

PDF.BINOM(q,n,p).

PDF.BINOM(5,100,0,02)=> 0.03535

Normal : Perhitungan dengan SPSS

Diketahui:

  =   = 1.4

PDF.NORMAL(q, mean, stddev)

PDF.NORMAL(5,2,1.4) => 0.02869.

Dirangkum Oleh :

Gugun julkarnaen & Gunawan

Manajemen Informatika Semester 2

Sumber dari buku : step by step SPSS Analisa Data Statistik 16 .

Daftar Pustaka

·           Trihendradi, C., SPSS  13  step b y  step  Analisa  Data  Statistik,  Penerbit  ANDI, 2006

·           _________, SPSS  15,  Statistik  Inferen,  Teori dasar  &  Aplikasinnya,  Penerbit  ANDI, 2008